68

последняя 8

предпоследняя 6

Вариант 3

S∨O,S→N,O→W↣N∨WS \lor O, S \rarr N, O \rarr W \rightarrowtail N \lor W

4

M={1,2,3,...,20}M = \{ 1, 2, 3, ..., 20 \}

a

C(x)→A(x)C(x) \rarr A(x)

C(x)‾∨A(x)\overline {C(x)} \lor A(x)

"x - не простое число, либо оно не делится на 5"

C(x)∧A(x)‾‾\overline {C(x) \land \overline {A(x)}}

"x - не является простым числом, делящимся на 5"

в множестве M только 5 - одновременно и простое число и делящееся на 5

тогда множество истинности:

R=M∖{5}R = M \setminus \{5\}

b

D(x)→C‾(x)D(x) \rarr \overline C(x)

D‾(x)∨C‾(x)\overline D(x) \lor \overline C(x)

D(x)∧C(x)‾\overline {D(x) \land C(x)}

"x не является простым числом, кратным 3"

простое число, делящееся на 3 - это 3

тогда множество истинности:

R=M∖{3}R = M \setminus \{3\}

с

(A(x)∧C(x))→D‾(x)(A(x) \land C(x)) \rarr \overline D(x)

"если x - простое число, не делящееся на 5, то оно не кратно 3"

A(x)∧C(x)‾∨D‾(x)\overline {A(x) \land C(x)} \lor \overline D(x)

A(x)∧C(x)∧D(x)‾\overline {A(x) \land C(x) \land D(x)}

"x не является простым числом, которое делится на 3, но не на 5"

простые числа, которые не делятся на 5:

если оно еще и делится на 3, то это точно 3.

тогда множество истинности:

R=M∖{3}R = M \setminus \{3\}

5

a

∀x(A(x)→B(y))&∀y(A(x)→(B(y)→C(z)))→∃z(A(x)→C(z))\forall x (A(x) \rarr B(y)) \& \forall y (A(x) \rarr (B(y) \rarr C(z))) \rarr \exists z (A(x) \rarr C(z))

∀x(A‾(x)∨B(y))&∀y(A(x)→(B‾(y)∨C(z)))→∃z(A‾(x)∨C(z))\forall x (\overline A(x) \lor B(y)) \& \forall y (A(x) \rarr (\overline B(y) \lor C(z))) \rarr \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∀x(A‾(x)∨B(y))&∀y(A‾(x)∨B‾(y)∨C(z))→∃z(A‾(x)∨C(z))\forall x (\overline A(x) \lor B(y)) \& \forall y (\overline A(x) \lor \overline B(y) \lor C(z)) \rarr \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∀x(A‾(x)∨B(y))&∀y(A‾(x)∨B‾(y)∨C(z))‾∨∃z(A‾(x)∨C(z))\overline {\forall x (\overline A(x) \lor B(y)) \&\forall y (\overline A(x) \lor \overline B(y) \lor C(z))} \lor \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∀x(A‾(x)∨B(y))‾∨∀y(A‾(x)∨B‾(y)∨C(z))‾∨∃z(A‾(x)∨C(z))\overline {\forall x (\overline A(x) \lor B(y))} \lor \overline{\forall y (\overline A(x) \lor \overline B(y) \lor C(z))} \lor \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∃x(A‾(x)∨B(y))‾∨∃y(A‾(x)∨B‾(y)∨C(z))‾∨∃z(A‾(x)∨C(z))\exist x \overline {(\overline A(x) \lor B(y))} \lor \exist y \overline{(\overline A(x) \lor \overline B(y) \lor C(z))} \lor \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∃x(A(x)∧B‾(y))∨∃y(A‾(x)∨B‾(y)‾∧C‾(z))∨∃z(A‾(x)∨C(z))\exist x (A(x) \land \overline B(y)) \lor \exist y (\overline{\overline A(x) \lor \overline B(y)} \land \overline C(z)) \lor \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∃x(A(x)∧B‾(y))∨∃y(A(x)∧B(y)∧C‾(z))∨∃z(A‾(x)∨C(z))\exist x (A(x) \land \overline B(y)) \lor \exist y (A(x) \land B(y) \land \overline C(z)) \lor \exists z (\overline A(x) \lor C(z))

∃xA(x)∧B‾(y)∨∃yB(y)∧A(x)∧C‾(z)∨A‾(x)∨∃zC(z)\exist x A(x) \land \overline B(y) \lor \exist y B(y) \land A(x) \land \overline C(z) \lor \overline A(x) \lor \exists z C(z)

b

∀x(¬A(x)→∃x(¬C(x)))→∀x((C(x)→A(x))\forall x(\lnot A(x) \rarr \exists x (\lnot C(x) )) \rarr \forall x ((C(x) \rarr A(x))

∀x(¬A(x)‾∨∃x(¬C(x)))→∀x(C‾(x)∨A(x))\forall x(\overline {\lnot A(x)} \lor \exists x (\lnot C(x) )) \rarr \forall x (\overline C(x) \lor A(x))

∀x(A(x)∨∃x(¬C(x)))‾∨∀x(C‾(x)∨A(x))\overline {\forall x (A(x) \lor \exists x (\lnot C(x) ))} \lor \forall x (\overline C(x) \lor A(x))

∀xA(x)‾∧∃x(¬C(x))‾∨∀x(C‾(x)∨A(x))\overline {\forall x A(x)} \land \overline{\exists x (\lnot C(x) )} \lor \forall x (\overline C(x) \lor A(x))

∃xA(x)‾∧∀x(¬C(x))‾∨∀x(C‾(x)∨A(x))\exists x \overline {A(x)} \land \forall x \overline{(\lnot C(x) )} \lor \forall x (\overline C(x) \lor A(x))

∃xA(x)‾∧∀xC(x)∨∀x(C‾(x)∨A(x))\exists x \overline {A(x)} \land \forall x C(x) \lor \forall x (\overline C(x) \lor A(x))

c

(∃x(¬A(x))→∀x(¬B(x)))→(¬B(x)∨A(x))(\exists x (\lnot A(x)) \rarr \forall x (\lnot B(x))) \rarr (\lnot B(x) \lor A(x))

(∀xA(x)‾→∃xB(x)‾)→(¬B(x)∨A(x))(\overline{\forall x A(x)} \rarr \overline{\exist x B(x)}) \rarr (\lnot B(x) \lor A(x))

(∀xA(x)∨∃xB(x)‾)→(¬B(x)∨A(x))(\forall x A(x) \lor \overline{\exist x B(x)}) \rarr (\lnot B(x) \lor A(x))

∀xA(x)∨∃xB(x)‾‾∨(¬B(x)∨A(x))\overline {\forall x A(x) \lor \overline{\exist x B(x)}} \lor (\lnot B(x) \lor A(x))

∀xA(x)‾∧∃xB(x)∨B‾(x)∨A(x)\overline {\forall x A(x)} \land {\exist x B(x)} \lor \overline B(x) \lor A(x)

∃xA(x)‾∧∃xB(x)∨B‾(x)∨A(x)\exists x \overline {A(x)} \land {\exist x B(x)} \lor \overline B(x) \lor A(x)

6

a

(∃x(¬A(x))→∀x(¬B(x)))→(¬B(x)∨A(x))(\exists x (\lnot A(x)) \rarr \forall x (\lnot B(x))) \rarr (\lnot B(x) \lor A(x))

(∃x(¬A(x))‾∨∀x(¬B(x)))→(¬B(x)∨A(x))(\overline{\exists x (\lnot A(x))} \lor \forall x (\lnot B(x))) \rarr (\lnot B(x) \lor A(x))

(∀xA(x)∨∀x(¬B(x)))→(¬B(x)∨A(x))(\forall x A(x) \lor \forall x (\lnot B(x))) \rarr (\lnot B(x) \lor A(x))

(∀xA(x)∨∀x(¬B(x)))‾∨(¬B(x)∨A(x))\overline{(\forall x A(x) \lor \forall x (\lnot B(x)))} \lor (\lnot B(x) \lor A(x))

∀xA(x)‾∧∀x(¬B(x))‾∨(¬B(x)∨A(x))\overline{\forall x A(x)} \land \overline{\forall x (\lnot B(x))} \lor (\lnot B(x) \lor A(x))

∃xA(x)‾∧∃xB(x)∨B‾(x)∨A(x)\exist x \overline{A(x)} \land \exist x B(x) \lor \overline B(x) \lor A(x)

∃yA(y)‾∧∃zB(z)∨B‾(x)∨A(x)\exist y \overline{A(y)} \land \exist z B(z) \lor \overline B(x) \lor A(x)

∃y(A(y)‾∧∃zB(z))∨B‾(x)∨A(x)\exist y (\overline{A(y)} \land \exist z B(z)) \lor \overline B(x) \lor A(x)

∃y(∃zB(z)∧A(y)‾)∨B‾(x)∨A(x)\exist y (\exist z B(z) \land \overline{A(y)}) \lor \overline B(x) \lor A(x)

∃y(∃z(B(z)∧A(y)‾))∨B‾(x)∨A(x)\exist y (\exist z (B(z) \land \overline{A(y)})) \lor \overline B(x) \lor A(x)

∃y∃z(B(z)∧A(y)‾∨B‾(x)∨A(x))\exist y \exist z (B(z) \land \overline{A(y)} \lor \overline B(x) \lor A(x))

b

(∀x(A(x)→∀y(B(y)→C(z)))) & (¬∀y(D(x;y)→F(z)))(\forall x (A(x) \rarr \forall y (B(y) \rarr C(z)))) \, \& \, (\lnot \forall y (D(x;y) \rarr F(z)))

(∀x(A(x)→∀y(B‾(y)∨C(z)))) & (¬∀y(D(x;y)→F(z)))(\forall x (A(x) \rarr \forall y (\overline B(y) \lor C(z)))) \, \& \, (\lnot \forall y (D(x;y) \rarr F(z)))

(∀x(A(x)→(∀yB‾(y)∨C(z)))) & (¬∀y(D(x;y)→F(z)))(\forall x (A(x) \rarr (\forall y \overline B(y) \lor C(z)))) \, \& \, (\lnot \forall y (D(x;y) \rarr F(z)))

(∀x(A‾(x)∨(∀yB‾(y)∨C(z)))) & (∃y¬(D(x;y)→F(z)))(\forall x (\overline A(x) \lor (\forall y \overline B(y) \lor C(z)))) \, \& \, (\exist y \lnot (D(x;y) \rarr F(z)))

(∀xA‾(x)∨(∀yB‾(y)∨C(z))) & (∃y¬(D‾(x;y)∨F(z)))(\forall x \overline A(x) \lor (\forall y \overline B(y) \lor C(z))) \, \& \, (\exist y \lnot (\overline D(x;y) \lor F(z)))

(∀xA‾(x)∨(∀yB‾(y)∨C(z))) & (∃y(D(x;y)∧F‾(z)))(\forall x \overline A(x) \lor (\forall y \overline B(y) \lor C(z))) \, \& \, (\exist y (D(x;y) \land \overline F(z)))

(∀xA‾(x)∨∀yB‾(y)∨C(z))∧∃yD(x;y)∧F‾(z)(\forall x \overline A(x) \lor \forall y \overline B(y) \lor C(z)) \land \exist y D(x;y) \land \overline F(z)

(∀uA‾(u)∨∀tB‾(t)∨C(z))∧∃yD(x;y)∧F‾(z)(\forall u \overline A(u) \lor \forall t \overline B(t) \lor C(z)) \land \exist y D(x;y) \land \overline F(z)

∃y(D(x;y)∧F‾(z)∧(∀uA‾(u)∨∀tB‾(t)∨C(z)))\exists y (D(x;y) \land \overline F(z) \land (\forall u \overline A(u) \lor \forall t \overline B(t) \lor C(z)))

∃y(D(x;y)∧F‾(z)∧(∀u(A‾(u)∨∀tB‾(t)∨C(z))))\exists y (D(x;y) \land \overline F(z) \land (\forall u (\overline A(u) \lor \forall t \overline B(t) \lor C(z))))

∃y(D(x;y)∧F‾(z)∧(∀u(∀tB‾(t)∨A‾(u)∨C(z))))\exists y (D(x;y) \land \overline F(z) \land (\forall u (\forall t \overline B(t) \lor \overline A(u) \lor C(z))))

∃y(∀u∀t(D(x;y)∧F‾(z)∧(B‾(t)∨A‾(u)∨C(z))))\exists y (\forall u \forall t (D(x;y) \land \overline F(z) \land (\overline B(t) \lor \overline A(u) \lor C(z))))

∃y∀u∀t(D(x;y)∧F‾(z)∧(B‾(t)∨A‾(u)∨C(z)))\exists y \forall u \forall t (D(x;y) \land \overline F(z) \land (\overline B(t) \lor \overline A(u) \lor C(z)))

c

(∀x(B(x)→∃y(A(y))))∧∃y(A(x)→C(y))→¬C(y)∧B(x)(\forall x (B(x) \rarr \exists y (A(y)))) \land \exists y (A(x) \rarr C(y)) \rarr \lnot C(y) \land B(x)

(∀x(B‾(x)∨∃y(A(y))))∧∃y(A‾(x)∨C(y))‾∨¬C(y)∧B(x)\overline {(\forall x (\overline B(x) \lor \exists y (A(y)))) \land \exists y (\overline A(x) \lor C(y))} \lor \lnot C(y) \land B(x)

(∀xB‾(x)∨∃yA(y))∧(∃yC(y)∨A‾(x))‾∨C‾(y)∧B(x)\overline {(\forall x \overline B(x) \lor \exists y A(y)) \land (\exists y C(y) \lor \overline A(x)) } \lor \overline C(y) \land B(x)

(∀xB‾(x)∨∃yA(y))‾∨(∃yC(y)∨A‾(x))‾∨C‾(y)∧B(x)\overline {(\forall x \overline B(x) \lor \exists y A(y))} \lor \overline{ (\exists y C(y) \lor \overline A(x)) } \lor \overline C(y) \land B(x)

∀xB‾(x)‾∧∃yA(y)‾∨∃yC(y)‾∧A(x)∨C‾(y)∧B(x)\overline {\forall x \overline B(x)} \land \overline { \exists y A(y)} \lor \overline{ \exists y C(y)} \land A(x) \lor \overline C(y) \land B(x)

∃xB(x)∧∀yA(y)‾∨∀yC(y)‾∧A(x)∨C‾(y)∧B(x)\exists x B(x) \land \forall y \overline {A(y)} \lor \forall y \overline{C(y)} \land A(x) \lor \overline C(y) \land B(x)

∃x∀y(B(x)∧A(y)‾)∨∀y(C(y)‾∧A(x))∨(C‾(y)∧B(x))\exists x \forall y (B(x) \land \overline {A(y)}) \lor \forall y (\overline{C(y)} \land A(x)) \lor (\overline C(y) \land B(x))

∃x∀y(B(x)∧A(y)‾)∨∀t(C(t)‾∧A(x))∨(C‾(y)∧B(x))\exists x \forall y (B(x) \land \overline {A(y)}) \lor \forall t (\overline{C(t)} \land A(x)) \lor (\overline C(y) \land B(x))

∃x∀y(B(x)∧A(y)‾)∨∀t(C(t)‾∧A(x)∨(C‾(y)∧B(x)))\exists x \forall y (B(x) \land \overline {A(y)}) \lor \forall t (\overline{C(t)} \land A(x) \lor (\overline C(y) \land B(x)))

∃u∀v∀t(B(u)∧A(v)‾∨(C(t)‾∧A(x)∨(C‾(y)∧B(x))))\exists u \forall v \forall t (B(u) \land \overline {A(v)} \lor (\overline{C(t)} \land A(x) \lor (\overline C(y) \land B(x))))

i'm really sorry...